2624 - [JSOI2007] 群的计数

代数学研究的基本对象之一群是一些元素的集合。这些元素之间有一种代数运算，称之为乘法。两个群元素的乘积是一个群元素。一个大家习以为常的群是有理数乘法群，例如，等等，都是这个群中乘法的例子。需要注意的是，如果仅仅考虑有理数的乘法群，另外的一些运算比如加法是不被讨论的。数学家们把乘法抽象出来，就成为了群。群需要满足以下三条性质： 结合律：对群中的任意元素a,b,c 有 a(bc)=(ab)c 单位元：在群中存在唯一的元素e，它对群中任意的元素a有ea=a，ae=a 有理数乘法群的单位元是1 逆 元：对群中任意元素a,都存在群中唯一的元素b,使得ab=ba=e

比如有理数乘法群中，23的逆元就为。从这里可以看出，整数乘法不能构成一个群 需要注意的是，群的定义中并没有交换律，就是说ab不一定等于ba，有理数乘法群作为一个特例，其交换性是没有普遍的意义的

现在的问题是，给定群的元素的个数（群的阶数），需要知道这样的群有多少种。只要满足上述三条性质，就是群，应该算上。

下面用四阶群的例子来说明这个问题。抽象地记群元素为e,a,b,c 只要列出一个乘法表，就可以代表一个群。下面给出推导乘法表的步骤： 群1eabc ee (1)a (1)b (1)c (1) aa (1)e (2)c (3)b (3) bb (1)c (3)e (4)a (5) cc (1)b (3)a (5)e (5)

有单位元素的性质，可以填上 aa可能为e,b,c，但不可能为a,否则aa=a两边乘以a的逆元，得到a=e； aa=b和aa=c的情况是一样的，只是乘法表中元素的位置进行了一个变换，本质没有改变，称为一个群同构；此时可以把a*a得到的元素称为b；

所以只要讨论aa=e和aa=b的情况；下面先讨论aa=e的情况 ab不能为a或e，ab为b的话，a=e，也矛盾，所以ab=c；同理可填上所有的(3) bb=e时，bc=cb=a，cc=e，得到群1 bb=a时，bc=cb=e，cc=a，得到群2

群2eabc ee (1)a (1)b (1)c (1) aa (1)e (2)c (3)b (3) bb (1)c (3)a (4)e (5) cc (1)b (3)e (5)a (5)

当a*a=b时，按照标号顺序可填出下列的群： 群 2’eabc ee (1)a (1)b (1)c (1) aa (1)b (2)c (4)e (3) bb (1)c (4)e (6)a (5) cc (1)e (3)a (5)b (6)

但需要注意的是，这并没有得到一个新的群，把群2中的a,b调换位置，就得到了群2’。群2’只是群2的一个同构而已。 综上所述，四阶群一共有2种。

虽然4阶群一定有交换律，但这里再次提醒，这并非一个普遍现象。

输入群的阶数n(4<=n<=3000)。

输出n阶群的种类数。

Hint

注意并灵活运用群的三条性质